一般动力 Lagrange 与 Markov 谱间 Hausdorff 维数的连续性

设 $\varphi_0$ 为紧致曲面 $M$ 的光滑保面积微分同胚，$\Lambda_0$ 为 $\varphi_0$ 的马蹄，其 Hausdorff 维数严格小于 1。给定光滑函数 $f:M\to \mathbb{R}$ 与 $\varphi_0$ 的一个微小光滑保面积扰动 $\varphi$，令 $L_{\varphi, f}$、相应地 $M_{\varphi, f}$ 分别为由 $\Lambda_0$ 双曲延拓得到的马蹄 $\Lambda$ 中点在 $\varphi$-轨道下 $f$ 的渐近最高值、相应地最高值所构成的 Lagrange、相应地 Markov 谱。我们证明，对于 $\varphi$ 与 $f$ 的通用选择，$L_{\varphi, f}\cap (-\infty, t)$ 的 Hausdorff 维数随 $t\in\mathbb{R}$ 连续变化，并且对所有 $t\in\mathbb{R}$，$M_{\varphi, f}\cap (-\infty, t)$ 与 $L_{\varphi, f}\cap (-\infty, t)$ 具有相同的 Hausdorff 维数。