时变线性算子的抛物方程扰动：线性过程与解的收敛性

本文考虑形如 $$(u_{\varepsilon})_t +A_{\varepsilon}(t)u_{{\varepsilon}} = F_{\varepsilon} (t,u_{{\varepsilon} }),$$ 的抛物方程，其中 $\varepsilon$ 为 $[0,\varepsilon_0)$ 区间内的参数，$\{A_{\varepsilon}(t), \ t\in \mathbb{R}\}$ 为均匀 sectorial 算子族。当 $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$时，方程收敛至 $$u_t +A_{0}(t)u_{} = F_{0} (t,u_{}).$$ 算子 $A_{\varepsilon}(t)$ 上的时变性质意味着通过变元常数公式求解时，线性过程是核心对象。在 $A_{\varepsilon}(t)$ 族及其当 $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$ 时收敛于 $A_0(t)$ 的适当条件下，我们获得了与 $A_{\varepsilon}(t)$ 关联的线性过程 $U_{\varepsilon}(t,\tau)$ 关于 $A_0(t)$ 关联的线性过程 $U_0(t,\tau)$ 的 Trotter-Kato 类型逼近定理，估计了其收敛性。通过变元常数公式并假设 $F_{\varepsilon}$ 收敛于 $F_0$，我们分析了这种线性过程收敛如何传递到半线性方程的解中。我们在两个例子中说明了思路：第一个是有界光滑域中的反应扩散方程，得到线性过程和解的收敛性。作为结果，我们也获得了每个问题相关联的 pullback attractor 族的上半连续性。第二个例子是非自主强阻尼波方程，我们分析了解如何随着对相关线性算子的分数次方进行扰动而收敛。