带漂移抛物方程的亚稳态与时间尺度 2：一般时间尺度

考虑由 $$\mathscr{L}_\epsilon f=b\cdot\nabla f+\epsilon\Delta f$$ 给出的椭圆算子，其中 $b:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$ 为某光滑向量场且 $\epsilon>0$，以及 $\mathbb{R}^d$ 上的初值问题 $$\left\{\begin{aligned}&\partial_t u_\epsilon=\mathscr{L}_\epsilon u_\epsilon,\\ &u_\epsilon(0,\,\cdot)=u_0(\cdot), \end{aligned} \right.$$ 其中 $u_0$ 为某有界连续函数。在假设由 $\mathscr{L}_\epsilon$ 诱导的 $\mathbb{R}^d$ 上的扩散具有形式为 $\exp \{-U(x)/\epsilon\}dx$ 的 Gibbs 不变测度（其中 $U$ 为某光滑 Morse 势函数）的前提下，我们提供了 $\epsilon\to0$ regime 下解 $u_\epsilon$ 多尺度行为的完整刻画。更确切地说，我们找到了当 $\epsilon\to0$ 时的临界时间尺度 $1\ll \theta_\epsilon^{(1)}\ll\cdots\ll \theta_\epsilon^{(q)}$，以及核 $R_t^{(p)}:M_0\times M_0\to\mathbb{R}_+$（其中 $M_0$ 表示 $U$ 的局部极小值集合），使得对于动力学系统 $\dot{x}(t)=b(x(t))$ 中 $m$ 的吸引域内的所有 $t>0$ 和 $x$，有 $$\lim_{\epsilon\to0}u_\epsilon(t\theta_\epsilon^{(p)},\,x)=\sum_{m'\in M_0}R_t^{(p)}(m,\,m')u_0(m'),$$ 成立。随后，通过计算每个 $p$ 在时间尺度 $\theta_\epsilon^{(p)}$ 和 $\theta_\epsilon^{(p+1)}$ 之间解的精确渐近极限（其中 $\theta_\epsilon^{(0)}=1$ 且 $\theta_\epsilon^{(q+1)}=\infty$），我们完成了解 $u_\epsilon$ 的刻画。我们的分析本质性地利用了由 $\mathscr{L}_\epsilon$ 诱导的扩散在不同时间尺度下亚稳态行为背后的分层树结构。该结果可被视为 Freidlin-Wentzell 理论的精确细化，而该理论在半世纪以来一直未被知晓。