带漂移抛物方程的亚稳性与时间尺度 1：第一段时间尺度

考虑由 $$\mathscr{L}_{\epsilon}f= {b} \cdot \nabla f + \epsilon \Delta f$$ 给出的椭圆算子，其中 $b\colon \mathbb R^d \to\mathbb R^d$ 为光滑向量场，$\epsilon>0$ 为小参数。考虑初值问题 $$\left\{ \begin{aligned} &\partial_ t u_\epsilon = \mathscr L_\epsilon u_\epsilon,\\ &u_\epsilon (0, \cdot) = u_0(\cdot), \end{aligned} \right.$$ 其中 $u_0$ 为某有界连续函数。记 $\mathcal M_0$ 为 $b$ 的临界点集合，这些点是 ODE $\dot x (t) = b (x(t))$ 的稳定驻点。在 $\mathcal M_0$ 有限且 $b = -(\nabla U + \ell)$ 的假设下，其中 $\ell$ 为垂直于 $\nabla U$ 的无散度场，本文的主要结果指出：存在时间尺度 $\theta^{(1)}_\epsilon$（$\theta^{(1)}_\epsilon \to \infty$ 当 $\epsilon \rightarrow 0$），以及定义在 $\mathcal M_0$ 上的马尔可夫半群 $\{p_t : t\ge 0\}$，使得 $$\lim_{\epsilon\to 0} u_\epsilon (t\theta^{(1)}_\epsilon, x) =\sum_{m'\in \mathcal M_0} p_t(m, m')\, u_0( m'),$$ 对所有 $t>0$ 以及对于 ODE $\dot{x}(t)= b( x(t))$ 属于 $m$ 吸引域的 $x$ 成立。时间尺度 $\theta^{(1)}$ 是临界性的，原因在于：对所有满足 $\varrho_\epsilon \to \infty$、$\varrho_\epsilon/\theta^{(1)}_\epsilon \to 0$ 的时间尺度 $\varrho_\epsilon$，有 $$\lim_{\epsilon\to 0} u_\epsilon (\varrho_\epsilon, x)=u_0(m)$$ 对所有 $x \in \mathcal D(m)$ 成立。即 $\theta_\epsilon^{(1)}$ 是初值问题解开始变化的第一段时间尺度。在 companion paper [Landim, Lee, Seo, forthcoming] 中我们推广此结果，找出解 $u_\epsilon$ 随时间平滑演化的所有临界时间尺度，并证明解 $u_\epsilon$ 可用取值于由 $b$ 的临界点并集所构成集合的某马尔可夫链的半群表示。