椭圆微分方程解的尺度无关定量唯一延拓与等分布估计

我们考虑定义在整体欧氏空间$\mathbb{R}^d$上或由整数边长$L$的立方体$\Lambda_L$组成的子集上的椭圆微分算子。对于该算子的本征函数以及更一般的椭圆微分方程的解，我们推导了若干定量唯一延拓结果。第一个结果是局部性质的，估计了解的消失阶。第二个是采样结果，比较解在空间中均匀分布的$\delta$-球并集上的$L^2$范数与在整个空间上的$L^2$范数。在将空间$\mathbb{R}^d$替换为有限立方体$\Lambda_L$的情形下，我们推导了类似的估计。我们估计的一个特点是：只要算子的系数选自适当集合，它们就是一致的；它们关于半径$\delta$是定量且显式的；它们与$L$无关，并且对$\delta$-球的小平移稳定。我们的证明适用于在相关长度尺度上具有缓变系数的二阶项。这些结果也可解释为不确定性关系、可观测性估计或谱不等式的特殊情形。