基于表示论的随机矩阵积和式：矩、数值、集中性及对玻色采样困难性的评论

计算随机矩阵积和式（permanent）的分布是数十年来悬而未决的开放问题。在量子计算中，该分布的“反集中性”是玻色采样任务困难性证明中一个未经证实的假设。我们研究随机独立同分布复高斯矩阵的积和式，更广泛地，随机酉矩阵子矩阵的积和式。利用表示论与组合学相结合的方法，我们证明了积和式分布所有矩的强下界。我们提供实质性证据表明我们的下界接近紧致并构成对矩的准确估计。令 $U(d)^{k\times k}$ 为 $d\times d$ 随机酉矩阵 $k\times k$ 子矩阵的分布，$G^{k\times k}$ 为 $k\times k$ 复高斯矩阵的分布。(1) 利用Schur-Weyl对偶（或Howe对偶），我们证明了当 $M$ 取自 $U(d)^{k\times k}$ 或 $G^{k\times k}$ 时 $|Perm(M)|$ 的 $2t$ 阶矩的展开公式。(2) 我们证明了一个令人惊讶的尺度-矩对偶性：随机 $k\times k$ 矩阵积和式的 $2t$ 阶矩等于 $t\times t$ 矩阵积和式的 $2k$ 阶矩。(3) 我们设计了一种精确计算小矩阵积和式高阶矩的算法。(4) 我们证明了取自 $G^{ k\times k}$ 或 $U(k)$ 的矩阵积和式任意矩的下界，并猜想我们的下界在小的乘性误差内接近饱和。(5) 假设我们的猜想，我们首次利用大偏差理论计算了高斯矩阵对数积和式分布的尾部。(6) 我们认为积和式分布不太可能仅由整数矩唯一确定，可能需要补充额外假设于矩计算以证明反集中猜想。