矩阵集合的永久系数：计算、分布与几何

我们报告了关于永久系数的计算与实验研究。在计算方面，我们使用 GPU 大大加速了在 $\mathbb{C}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{F}_p$ 和 $\mathbb{Q}$ 上的永久系数的计算。首先，对于 Haar 分布的酉矩阵~$U$，永久系数 $\perm(U)$ 遵循圆对称复高斯分布 $\mathcal{CN}(0,\sigma^2)$ —— 我们通过多个测试确认了这一点，样本数达到 50,000，矩阵维数 $n$ 最高达到 23。DFT 矩阵永久系数在每个素数 $n\ge 7$ 中都是极端离群值。相反，对于 Haar 随机正交矩阵~$O$，永久系数 $\perm(O)$ 大约为实高斯分布，但正偏度系数为 $O(1/n)$，表明收敛较慢。在具有高斯 Entries 的矩阵（GUE、GOE、Ginibre）上，永久系数服从稳定分布，其稳定指数 $\alpha\approx 1.0$--$1.4$，显著低于高斯值 $\alpha=2$。我们测试了 Aaronson 猜想，即 $|\perm(X)|^2$ 对高斯矩阵~$X$ 渐近为对数正态分布：这在复 Ginibre 和 GOE ensemble 中尚可接受，但在 GUE 和实 Ginibre 中似乎失败，其中 $\alpha$ 稳定尾部阻止了收敛。然而，对于所有高斯 ensemble，反浓度成立且比 Haar 酉矩阵更稳健。其次，我们沿着酉群上的测地线研究永久系数。对于从单位矩阵到 $n$ 循环置换矩阵的测地线，我们发现一个与 $n$ 无关的通用缩放函数 $f(t)=\frac{1}{n}\ln|\perm(\gamma(t))|$ 在大 $n$ 极限下独立于~$n$，其中点值为 $$\perm(\gamma({\textstyle\frac12})) = (-1)^{(n-1)/2}\cdot 2e^{-n}\bigl(1+\tfrac{1}{3n}+O(n^{-2})\bigr)$$ 当 $n$ 为奇数时，为零；当 $n$ 为偶数时。我们还研究了从单位矩阵到 DFT 矩阵的测地线。