生物网络形成模型弱解的部分正则性与光滑解的生命跨度

本文首先研究系统 $-\mbox{div}\left[(I+\mathbf{m}\otimes \mathbf{m})\nabla p\right]=S(x),\ \ \partial_t\mathbf{m}-D^2\Delta \mathbf{m}-E^2(\mathbf{m}\cdot\nabla p)\nabla p+|\mathbf{m}|^{2(\gamma-1)}\mathbf{m}=0$ 初边值问题弱解的部分正则性，其中 $S(x)$ 是给定函数，$D, E, \gamma$ 是给定常数。该问题已被提出作为生物运输网络的 PDE 模型。在数学上，它似乎与 De Giorgi \cite{DE} 的一个猜想有关。随后我们研究经典解的生命跨度。我们的结果表明，只要项 $\|{\bf m}(x,0)\|_{\infty, \Omega}+\|S(x)\|_{\frac{2N}{3}, \Omega}$ 取得适当小，总可以得到经典解的局部存在性，并且该解的生命跨度可以任意延长，其中 $N$ 是空间维数，$\|\cdot\|_{q,\Omega}$ 表示 $L^q(\Omega)$ 中的范数。