$2+1$ 维生物网络表述模型强解的全局存在性

在本文中，我们研究如下系统在二维空间中的初边值问题：\ $-\mbox{{div}}\left[(I+\mathbf{m} \mathbf{m}^T)\nabla p\right]=s(x),\ \ \mathbf{m}_t-\alpha^2\Delta\mathbf{m}+|\mathbf{m}|^{2(\gamma-1)}\mathbf{m}=\beta^2(\mathbf{m}\cdot\nabla p)\nabla p$。该问题已被提出作为生物运输网络的连续介质模型。数学挑战源于系统中存在的三次非线性项，也称为三线性形式。我们得到弱解 $(\mathbf{m},p)$，其中 $|\nabla p|$ 和 $|\nabla\mathbf{m}|$ 均有界。该结果立即引发自举论证，从而可得出弱解的更高正则性。这是通过推导方程 $v\equiv(I+\mathbf{m} \mathbf{m}^T)\nabla p\cdot\nabla p$ 并随后对该方程适当应用 De Giorge 迭代法实现的。