平均曲率流演化超曲面在首个奇异时刻的部分正则性

本文考虑在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 某开子集上于时间区间 $(0, t_0)$ 内按平均曲率演化的光滑、适当浸入的超曲面。我们证明，若这些超曲面的第二基本形式在某个时空区域 $B_R(y)\times (0, t_0)$ 内具有 $p\ge 2$ 的可积性，则首个奇异集的 $\mathcal{H}^{n+2-p}$ 测度在 $B_R(y)$ 内为零。对于 $p=2$，此结果已由 Han 和 Sun 独立建立。我们的结果进一步推广了 Xu、Ye 和 Zhao 以及 Le 和 Sesum 先前在 $p\ge n+2$ 情形下的工作，该情形下奇异集被证明为空集。根据 Ilmanen 的一个定理，若初始曲面具有有限亏格，则对于 $p=2$ 和 $n=2$，我们的可积性条件得到满足。因此，在此情形下首个奇异集具有零 $\mathcal{H}^2$ 测度。这是 Brakke 主要正则性定理在曲面特殊情形下的结论，但推导时无需施加面积连续性和单位密度假设。由 Head 以及 Huisken 和 Sinestrari 近期的研究可知，对于闭合 $k$-凸超曲面（即其最小的 $k$ 个主曲率之和为正的超曲面）的流，只要 $1\le k\le n-1$，对于所有小的 $\alpha >0$，我们的可积性准则以指数 $p=n+3-k-\alpha$ 成立。因此，这类解的首个奇异集至多是 $(k-1)$ 维的，鉴于一些显式例子，这是一个最优估计。