Villain 模型的平行自旋波

本文研究了维数 $d\geq 3$ 时的 $\mathbb{Z}^d$ 上的 Villain 模型。有人推测，在无限体积 Gibbs 态中，平行相关函数，即映射 $$x \mapsto \langle \cos\theta(0) \cos\theta(x) \rangle_{\mu_{\mathrm{Vil}, \beta}} -\left( \langle \cos\theta(0) \rangle_{\mu_{\mathrm{Vil}, \beta}} \right)^2,$$ 在 $|x| \to \infty$ 时衰减为 $|x|^{-2(d-2)}$。1981 年，Bricmont、Fontaine、Lebowitz、Lieb 和 Spencer 的结果表明，对于相关的 XY 模型，该相关衰减至少为 $|x|^{2-d}$。我们在 $d=3$ 中证明了 Villain 模型的最优上下界，仅差一个对数修正项，并改进了一般维度中的上界。我们的证明基于我们之前文章中develop的的方法，后者受到 Fr"{o}hlich 和 Spencer (1982) 的关键观察的启发：在低温 regime 下，对 Villain 模型性质的分析可通过偶然变换和重整齐化转化为分析一个（向量值）$\nabla \varphi$ 界面模型。后者可结合 Helffer-Sj"{o}strand 表示公式以及椭圆和抛物正则性工具进行研究。