具有长程耦合的Villain模型

最近邻 Villain 模型（或称周期高斯模型）是理解二维最近邻 $XY$ 模型拓扑缺陷物理的有用工具，因为这两个模型具有相同的对称性且属于同一普适类。二维 $XY$ 模型的长程对应体最近被证明表现出非平凡的临界行为，其复杂相图包含耦合衰减幂律指数 $\sigma$ 的一系列取值，在这些取值中存在磁化相、无序相和临界相（arXiv:2104.13217）。在此我们探讨二维长程耦合 $XY$ 模型的临界行为是否可由该模型的 Villain 对应体描述。在引入合适的长程耦合 Villain 模型推广之后，我们推导了一组涡旋-涡旋势的重整化群方程，其与长程 $XY$ 模型的方程不同，表明在此 regime 下自旋波与拓扑缺陷的退耦不再成立。主要结果是：对于 $\sigma<2$，两个模型不再属于同一普适类。值得注意的是，在其相图的很大区域内，Villain 模型被发现表现得类似于具有 $1/r^2$ 相互作用的一维 Ising 模型。