完全图上的并行筹码发射：魔鬼阶梯与庞加莱旋转数
组合数学
2010-10-11 v2 统计力学
动力系统
摘要
我们研究了完全图 上的并行筹码发射行为如何随着我们改变筹码总数而变化。令人惊讶的是，系统的活跃度（定义为每个时间步的平均发射次数）并不随筹码数量平滑增加；相反，它在长区间内保持恒定，并伴有突然的跳跃。在 趋于无穷大的极限下，我们发现了活跃度对筹码数量的“魔鬼阶梯”依赖关系。证明过程通过将筹码发射动力学化简为圆 自映射的迭代来进行，使得筹码发射状态的活跃度等于圆映射的庞加莱旋转数。魔鬼阶梯的阶梯对应于小周期的周期性筹码发射状态。
引用
@article{arxiv.0811.2800,
title = {Parallel Chip-Firing on the Complete Graph: Devil's Staircase and Poincare Rotation Number},
author = {Lionel Levine},
journal= {arXiv preprint arXiv:0811.2800},
year = {2010}
}
备注
22 pages, 2 figures. Rewrote sections 2 and 3 in terms of "generalized chip configurations" to address referee comments. To appear in Ergodic Theory and Dynamical Systems