非稳定并行芯片发射游戏

2010年，Kominers和Kominers证明了在 $G(V,\,E)$ 上，当 $|\sigma|\geq 4|E|-|V|$ 时，任何并行芯片发射游戏都会稳定。最近，Bu、Choi和Xu使这个界限变得精确：所有满足 $|\sigma|< |E|$ 或 $|\sigma|> 3|E|-|V|$ 的游戏都会稳定。与此同时，Levine在并行芯片发射游戏的活动度与其芯片密度图中发现了一种“魔鬼阶梯”模式。Bu、Choi和Xu的稳定界限对应于这个阶梯的顶部和底部台阶，其中活动度分别为1和0。在本文中，我们分析了阶梯的中间台阶，对应于活动度 $\frac{1}{2}$。我们证明了所有满足 $2|E|-|V|< |\sigma|< 2|E|$ 的并行芯片发射游戏具有周期 $T\neq 3,\,4$。事实上，这恰好是 $|\sigma|$ 的区间，其中所有游戏都是非稳定的。我们猜想所有满足 $2|E|-|V|< |\sigma|<2|E|$ 的并行芯片发射游戏具有 $T=2$，因此活动度为 $\frac{1}{2}$。Bu、Choi和Xu证明了树的情况，Dall'asta证明了环的情况，Levine证明了完全图的情况。我们将Levine的共轭配置方法扩展到完全二分图 $K_{a,a}$ 上，证明了该猜想。