间接信号驱动的趋化系统中的抛物-椭圆和间接-直接简化

研究了以下间接信号趋化系统的奇异极限 \begin{align*} \left\{ \begin{array}{lllllll} \partial_t n = \Delta n - \nabla \cdot (n \nabla c ) & \text{in } \Omega\times(0,\infty) , \varepsilon \partial_t c = \Delta c - c + w & \text{in } \Omega\times(0,\infty), \varepsilon \partial_t w = \tau \Delta w - w + n & \text{in } \Omega\times (0,\infty), \partial_\nu n = \partial_\nu c = \partial_\nu w = 0, &\text{on } \partial\Omega\times (0,\infty) \% (n,c,w)_{t=0} = (n_0,c_0,w_0) & \text{on } \Omega, \end{array} \right. \end{align*} 更精确地说，我们研究了抛物-椭圆简化（PES），即固定$\tau>0$时$\varepsilon\to 0^+$，直到临界维度$N=4$；以及间接-直接简化（IDS），即$(\varepsilon,\tau)\to (0^+,0^+)$，直到临界维度$N=2$。这些在信号过程比物种扩散和所有相互作用快得多的时间尺度上的生物情境中具有相关性。在临界维度中展示奇异极限是具有挑战性的。为了处理PES，我们仔细结合了熵函数、Adam型不等式、慢演化的正则化以及能量方程方法，以获得代表性空间中的强收敛。对于IDS，设计了一个关于$L^p$-能量函数的自举论证，这使我们能够获得奇异极限的适当一致界。此外，在两种情况下，我们还给出了收敛速率，其中初始层的影响和到临界流形的收敛也被揭示。