双自由双 Burnside 环的正交单位元

有限群 $G$ 的双自由双 Burnside 环 $B^\Delta(G,G)$ 具有自然的反对合。我们研究了 $B^\Delta(G,G)$ 中正交单位元构成的群 $B^\Delta_\circ(G,G)$。证明了该群总是有限的，并包含一个同构于 $B(G)^\times\rtimes \Out(G)$ 的子群，其中 $B(G)^\times$ 表示 $G$ 的 Burnside 环的单位群，$\Out(G)$ 表示 $G$ 的外自同构群。此外，证明了若 $G$ 是幂零群，则 $B^\Delta_\circ(G,G)\cong B(G)^\times\rtimes \Out(G)$。这些结果可被解释为对群代数 $p$-块等价性问题的肯定回答，适用于该块为 $p$-群的群代数的情形。