Burnside 环单位的函子式表示

设 $B^\times$ 为 $\mathbb{F}_2$ 上的双集函子，将有限群 $G$ 映到其 Burnside 环 $B(G)$ 的单位群 $B^\times(G)$，并设 $\widehat{B^\times}$ 为其对偶函子。本文主定理给出了从 $B^\times$ 到对偶 Burnside 函子 $\widehat{\mathbb{F}_2B}$ 的自然单射的余核的刻画，等价地，给出了自然满射 $\mathbb{F}_2B\to \widehat{B^\times}$ 的核 $L$ 的一组显式生成元 $\mathcal{G}_S$。这给出了 $\widehat{B^\times}$ 的两项投射分解，并导出关于扩张函子 $\mathrm{Ext}^1(-,B^\times)$ 的一些信息。对有限群 $G$，这也允许将 $B^\times(G)$ 描述为群 $B^\times(T/S)$ 在 $G$ 的截面 $(T,S)$ 上的极限，其中 $T/S$ 为奇素数阶循环群、Klein 四元群、8 阶二面体群或 Roquette 2-群。另一结论是双集函子 $B^\times$ 非有限生成，而其对偶 $\widehat{B^\times}$ 有限生成但非有限呈现。本文最后一结果还表明 $\mathcal{G}_S$ 是 $L$ 的极小生成元集，并由此推出 $L$ 的子函子格不可数。