某些有限 $p$-群的伯恩赛德环的增广商

设 $G$ 为有限群，$\Omega(G)$ 为其伯恩赛德环，$\Delta(G)$ 为其增广理想。分别用 $\Delta^n(G)$ 和 $Q_n(G)$ 表示 $\Delta(G)$ 的 $n$ 次幂与第 $n$ 个连续商群 $\Delta^n(G)/\Delta^{n+1}(G)$。本文给出了 $\Delta^n(\mathcal{H})$ 的一个显式 $\mathbb{Z}$-基，并确定了每个正整数 $n$ 下 $Q_n(\mathcal{H})$ 的同构类，其中 $\mathcal{H}=\langle g,h |\, g^{p^m}=h^p=1, h^{-1}gh=g^{p^{m-1}+1}\rangle$，$p$ 为奇素数。