带边界的离散 Hammersley 过程中方差的阶

我们讨论带边界的 Hammersley 过程的格点类比中方差的阶，其中每个格点上的环境具有独立的、Bernoulli 分布的值。最后通过时间是在分段线性路径上能收集到的 Bernoulli 点的最大数目，其中每一段具有严格正但有限的斜率。我们证明在特征方向上，带边界模型中最后通过时间的方差阶为 $N^{2/3}$。这些特征方向限制于从原点出发的一个锥内，而在锥外任何方向上，边界模型中方差阶变为 $O(N)$，非边界模型中变为 $O(1)$。此行为源于形状函数的两条平边。