轨道理论、局部有限置换与莫尔斯算术

本文的目标是从遍历轨道理论的角度分析两个分别源于组合学和数论的保测变换。我们研究了莫尔斯变换（在其于整数二进数群 $\textbf{Z}_2$ 中的 adic 实现下，如作者所述 [{\sl J. Sov. Math.} {\textbf{28}}, 667-674 (1985); {\sl St. Petersburg Math. J.} {\textbf{6}} (1995), no. 3, 529-540]），并证明它与二进里程表具有相同的轨道划分。然后，我们给出了产生莫尔斯变换的里程表时间替换的精确描述。将这种时间替换描述为群 $\mathbb Z$ 的随机重排序形式，或用群 $\mathbb Z$ 的随机无限置换来描述是方便的。我们为群 $\mathbb Z$（以及所有顺从群）引入了{\it 局部有限置换（LFP）或局部有限双射（LFB），以及一致局部有限时间替换（ULFTS）}的概念。如果两个自同构具有相同的轨道划分，且其中一个到另一个的时间替换是一致局部有限时间替换，则称它们是{\it 关联的}。我们的主要结果是莫尔斯变换与里程表是关联的。群 $\mathbb Z$（以及更一般的群）上的随机无限置换理论与群作用的遍历理论同等强大。该领域的主要任务是研究无限置换、无限置换空间上的测度，以及 $\mathbb Z$ 上的线性序。局部有限置换类是进行此类分析的一个有用类。