有限域上的无限维群与Hall-Littlewood对称函数

标题中提及的群是有限域$\mathbb F_q$上某些无限大小的矩阵群。它们由有限经典群构造而来，同时类似于约化$p$-adic李群。在本文中，我们开启对这些无限维群余伴随作用的不变测度的研究。我们首先考察群$\mathbb{GLB}$，即归纳极限群$\varinjlim GL(n, \mathbb F_q)$的一个拓扑完备化。正如Gorin、Kerov与Vershik [arXiv:1209.4945]所证，$\mathbb{GLB}$的可迹因子表示可通过Young图$\mathbb Y$上的调和函数得到完全分类。我们证明存在一套与之平行的遍历余伴随不变测度理论，其关联于$\mathbb Y$上调和函数的某种变形版本。此处变形意指$\mathbb Y$的边被赋予某些形式重数，这些重数源自Hall-Littlewood (HL)对称函数在参数$t:=q^{-1}$下的最简Pieri规则（乘以第一幂和$p_1$）版本。这一事实构成了我们主要结果的序曲，其主要结果涉及由有限酉群构造的两个归纳极限群的拓扑完备化。我们证明在此情形下，余伴随不变测度与某些新的分支图相关联。后者仍与HL函数相关，但新颖之处在于：此时的形式边重数来自乘以$p_2$（而非$p_1$），且HL参数$t$为负值（一如Ennola对偶中那样）。