p-进整数空间的遍历变换

设 $\mathcal L_1$ 为所有满足常数为 1 的 Lipschitz 条件的映射 $f\colon\Z_p\to\Z_p$ 的集合，其中映射定义域与值域均为全体 $p$-进整数 $\Z_p$。我们证明映射 $f\in\mathcal L_1$ 关于 $\Z_p$ 上的正规化 Haar 测度是遍历的，当且仅当对每个 $k=1,2,3,...$，$f$ 在每个剩余类环 $\Z/p^k\Z$ 模 $p^k$ 上诱导出一个单一循环置换。多元情形以及保测度映射亦被考虑。本文结果结合作者早先的结果，给出了 $\mathcal L_1$ 中遍历映射的显式刻画。该刻画在 $p=2$ 时是完整的。作为应用，我们得到了诱导 $p$-进球面上遍历变换的多项式（及某些局部解析函数）的刻画。后一结果蕴含了对 A.~Khrennikov 所提关于球面上受扰动单项映射遍历性问题的解答。