亏格三中Prym-Teichmüller曲线上的轨道折叠点

Prym-Teichmüller 曲线 $W_D(4)$ 构成了模空间 $\mathcal{M}_3$ 中已知的原始 Teichmüller 曲线的主要例子。对于每个非平方判别式 $D>1$，我们确定了 $W_D(4)$ 中轨道折叠点的数量和类型。这些结果，连同 Lanneau-Nguyen 和 Möller 关于尖点数量和欧拉特征的公式，完成了亏格 3 中 Prym-Teichmüller 曲线的拓扑刻画。确定轨道折叠点的关键在于分析以 $\mathbb{P}^1$ 上四点为中心分支的、亏格 3 的 4 次和 6 次循环覆盖族。作为我们研究的副产品，我们给出了这两个族的雅可比簇和 Prym-Torelli 像的显式描述，以及对相应平曲面的描述。