二阶椭圆算子的最优 Hardy 权：对 Agmon 问题的回答

对于区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$（或非紧流形）中的一般次临界二阶椭圆算子 $P$，我们构造了一个 Hardy 权 $W$，其在以下意义上是最优的：对于所有 $\lambda < 1$，算子 $P - \lambda W$ 在 $\Omega$ 中是次临界的；对于 $\lambda = 1$，其在 $\Omega$ 中是零临界的；对于任何 $\lambda > 1$，其在 $\Omega$ 中无穷远的任何邻域附近是超临界的。此外，如果 $P$ 是对称的且 $W>0$，则 $W^{-1}P$ 的谱和本质谱等于 $[1,\infty)$，且相应的 Agmon 度规是完备的。我们的方法基于正解理论，适用于对称和非对称算子。所构造的 Hardy 权由一个涉及方程 $Pu=0$ 的两个不同正解的显式简单公式给出，其存在性取决于 $P$ 在 $\Omega$ 中的次临界性。