Bourgain-Delbaen 型 Banach 空间上的算子

我们首先详细阐述原始的 Bourgain-Delbaen 构造以及 Argyros 和 Haydon 提出的广义构造。我们展示了这两种构造之间的联系，并作为推论，证明了在原始的 Bourgain-Delbaen 空间上存在某个 $\delta > 0$ 和一个不可数的等距映射集，这些映射两两之间的距离为 $\delta$。随后，我们扩展这些思想以获得主要结果。我们构造了新的 Bourgain-Delbaen 型 Banach 空间，它们都具有 $\ell_1$ 对偶空间。第一类空间是 HI 空间，拥有少量但并非极少量的算子。因此，我们对 Argyros-Haydon 问题给出了否定解答。我们指出，所有这些空间都具有有限维的 Calkin 代数，并研究了这一结果的推论。我们还构造了一个具有 $\ell_1$ Calkin 代数的空间，并表明虽然该空间仍属于具有 $\ell_1$ 对偶的 Bourgain-Delbaen 型，但其表现与第一类空间有所不同。最后，我们简要考虑了平移不变的 $\ell_1$ 预对偶，并暗示如何利用 Bourgain-Delbaen 构造产生新的、奇特的例子。