图的最大度为三的边到达情况下的最优匹配的在线算法

我们研究具有边到达的图上最大基数匹配的在线算法。Buchbinder、Segev 和 Tkach 表明，即使在最大度为三的图上，针对最大基数分数匹配的任何在线算法都无法实现竞争比大于 $4/(9-\sqrt 5)\approx 0.5914$。即使图是二分图且边按顶点到达顺序披露（即一旦出现一个顶点，就会披露包含该新到达顶点和先前到达顶点之一的全部边），Buchbinder 等人的负面结果仍然成立。为了补充 Buchbinder 等人的负面结果，我们为最大基数分数匹配提供了一个在线算法，实现的竞争比至少为 $4/(9-\sqrt 5)\approx 0.5914$，适用于最大度为三的图。我们还展示，针对最大基数整数匹配的任何在线算法都无法实现竞争保证 $0.5807$，从而在最大度为三的图上建立了整数匹配与分数匹配之间的差距。请注意，Buchbinder 等人的工作表明，对于最大度为二的图，分数匹配和整数匹配之间不存在这种差距，因为两者的最佳可实现竞争比都是 $2/3$。此外，我们的结果表明，在顶点到达模型和边到达模型下，最大度为三的图的分数匹配的最佳可能竞争比相同。