论 $\epsilon$-等距映射的泛左稳定性

设 $X$, $Y$ 为两个实 Banach 空间，且 $\eps\geq0$。映射 $f:X\rightarrow Y$ 称为标准 $\eps$-等距映射，如果对于所有 $x,y\in X$ 满足 $|\|f(x)-f(y)\|-\|x-y\||\leq\eps$ 且 $f(0)=0$。我们称一对 Banach 空间 $(X,Y)$ 是稳定的，如果存在 $\gamma>0$，使得对于每一个这样的 $\eps$ 和每一个标准 $\eps$-等距映射 $f:X\rightarrow Y$，存在一个有界线性算子 $T:L(f)\equiv\overline{{\rm span}}f(X)\rightarrow X$，使得对于所有 $x\in X$ 满足 $\|Tf(x)-x\|\leq\gamma\eps$。如果对于每个 $Y$ ($X$)，$(X,Y)$ 总是稳定的，则称 $X$ ($Y$) 是泛左（右）稳定的。在本文中，我们证明：如果一个对偶 Banach 空间 $X$ 是泛左稳定的，则它等距同构于某个集合 $\Gamma$ 对应的 $\ell_\infty(\Gamma)$ 的一个 $w^*$-闭补子空间，因此是一个内射空间；并且一个 Banach 空间是泛左稳定的当且仅当它是一个基数内射空间；此外，泛左稳定空间是不变的。