关于一类斜积变换遍历定理的一致收敛性

考虑一类斜积变换，其基底为概率空间 $(M, \mathcal{B}, m)$ 上的遍历或周期变换，纤维为另一概率空间 $(W, \mathcal{F}, P)$ 上的变换半群。在纤维变换满足适当混合条件的假设下，我们证明了遍历性、弱混合性和强混合性可从基底变换传递至斜积变换（关于乘积测度）。我们导出了关于乘积空间上斜积的遍历定理。本文的主要目的是建立沿此类斜积轨道，定义在两个概率空间乘积上的函数 $F$ 的遍历平均级数关于基底变量的一致收敛性。假设耦合函数满足某种增长条件、纤维变换满足强混合条件，且 $F$ 满足连续性和可积性条件，我们证明了关于基底的一致收敛性和关于纤维的 $L^p(P)$-收敛性。在关于 $F$ 的等连续性假设下，我们进一步证明了关于纤维的 $P$-几乎处处收敛性。我们的工作信息论中有一个应用：它意味着限制在由方向定义的阶梯攀登模式部分上的随机场函数平均值的收敛性。