关于 Bougerol 分布恒等式的二维推广

设 $B=\{ B_{t}\} _{t\ge 0}$ 为一维标准布朗运动，并记 $A_{t},\,t\ge 0$ 为 $e^{B_{t}},\,t\ge 0$ 的二次变差。著名的 Bougerol 分布恒等式（1983）断言：若 $\beta =\{ \beta _{t}\} _{t\ge 0}$ 为另一与 $B$ 独立的布朗运动，则对每个固定的 $t>0$，$\beta _{A_{t}}$ 与 $\sinh B_{t}$ 同分布。Bertoin、Dufresne 与 Yor（2013）得到了该恒等式的一个二维推广，其中第二坐标涉及 $B$ 与 $\beta$ 在零水平的局部时。本文给出了其推广的一种一般化情形，即这些局部时的水平不再限于零。我们的论证给出了原推广的一个简短初等式证明，并为这一微妙恒等式提供了新的见解。