Bougerol 分布恒等式的推广及相应的 anticipative 路径变换

设 $B=\{ B_{t}\} _{t\ge 0}$ 为一维标准布朗运动，并记 $A_{t},\,t\ge 0$ 为几何布朗运动 $e^{B_{t}},\,t\ge 0$ 的二次变差。Bougerol 的著名恒等式（1983）断言：若 $\beta =\{ \beta (t)\} _{t\ge 0}$ 为另一与 $B$ 独立的布朗运动，则对每个固定的 $t>0$，$\beta (A_{t})$ 与 $\sinh B_{t}$ 同分布。本文中，我们将 Bougerol 恒等式推广为直至时刻 $t$ 过程的分布恒等式，其展现了布朗运动分布的一种不变性。该推广以涉及以 $A_{t}$ 为 anticipative 因子的 $B$ 的 anticipative 变换来描述。我们给出了这些变换的一个 Girsanov 型公式。同时也给出了 Bougerol 恒等式一个变体的推广。