关于涉及布朗运动指数泛函与柯西变量的若干依分布恒等式

设 $B=\{ B_{t}\} _{t\ge 0}$ 为一维标准布朗运动，对其关联指数加性泛函 $A_{t}=\int _{0}^{t}e^{2B_{s}}ds,\,t\ge 0$。从广义逆高斯分布在特定参数集下的简单观察出发，借助 Matsumoto--Yor (2000) 的一个结果，我们证明对任意 $x\in \mathbb{R}$ 及过程 $\{ e^{-B_{t}}A_{t}\} _{t\ge 0}$ 的任意有限停时 $\tau$，成立依分布恒等式 \begin{align*} \left( e^{B_{\tau}}\!\sinh x+\beta (A_{\tau }), \, Ce^{B_{\tau}}\!\cosh x+\hat{\beta}(A_{\tau }), \, e^{-B_{\tau }}\!A_{\tau } \right) \stackrel{(d)}{=} \left( \sinh (x+B_{\tau }), \, C\cosh (x+B_{\tau }), \, e^{-B_{\tau }}\!A_{\tau } \right) , \end{align*} 该式在多方面推广了 Bougerol (1983) 的一个恒等式。此处 $\beta =\{ \beta (t)\} _{t\ge 0}$ 与 $\hat{\beta}=\{ \hat{\beta}(t)\} _{t\ge 0}$ 为一维标准布朗运动，$C$ 为标准柯西变量，且 $B$、$\beta$、$\hat{\beta}$ 与 $C$ 相互独立。利用与上述恒等式推导相关的论证，我们还给出了涉及独立 Rademacher 变量的柯西变量的一些不变性公式。