从柯西行列式公式到玻色与费米immanant恒等式
摘要
柯西行列式公式（1841）涉及 ，是对称函数理论中的基本结果。它已在多个方向上被推广，包括 Frobenius [J. reine angew. Math. 1882] 给出的涉及 中两个几何级数之和的行列式推广。这一主题也重新出现在 Horn [Trans. Amer. Math. Soc. 1969] 的矩阵分析论文中——其中计算归于 Loewner——以及 Belton-Guillot-Khare-Putinar [Adv. Math. 2016] 和 Khare-Tao [Amer. J. Math. 2021] 的近期工作中。这些公式最近在 [Trans. Amer. Math. Soc. 2022] 中被统一并推广到任意幂级数，其中变量 为交换/玻色变量。在本注记中，我们给出了类似的积和式恒等式，并事实上解释了所有这些结果如何成为更一般恒等式的特例，该一般恒等式适用于任意有限群的任何特征标——事实上是任何复类函数——该群通过带符号置换作用于玻色变量 和 。（我们通过一个——或许是新颖的——在任意整环上成立的带符号置换矩阵的“对称函数”刻画，解释了为何更大的线性群不适用。）随后我们给出了这些公式的费米类比，以及密切相关柯西乘积恒等式的费米类比。
引用
@article{arxiv.2201.03129,
title = {From Cauchy's determinant formula to bosonic and fermionic immanant identities},
author = {Apoorva Khare and Siddhartha Sahi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2201.03129},
year = {2023}
}
备注
Definition 2.1 (here and in the published version in the European Journal of Combinatorics) is corrected, to also include the nonzero coefficients in the class function. This is required when dealing with class functions that have non-integer coefficients; that said, no results in the paper get changed in their hypotheses or assertions