多维 Wronskian 行列式的 Jacobi identities

对于 $d \geqslant 1$ 个独立变量 $x^1, \ldots, x^d$ 中的 $N$ 个函数 $f_1, \ldots, f_N$ 的微分阶数 $k \geqslant 1$ 的广义 Wronskian，是由这些函数的导数 $\partial^{|\sigma_i|} f_j / \partial (x^1)^{\sigma_i^1}\cdots \partial (x^d)^{\sigma_i^d}$（阶数 $0 \leqslant |\sigma_i| \leqslant k$）构成的矩阵行列式，其中多指数 $\sigma_i$ 标记（全部或部分）第 $k$ 阶喷空间 $J^k(\mathbb{R}^d\to\mathbb{R})$ 中的纤维变量 $u_{\sigma_i}$。我们证明，只要这些（不完整）Wronskian 在微分阶数 $\ell \leqslant 1$ 处的最低阶部分是完整的，即可在 $d$ 维基底上满足来自 Schlessinger--Stasheff 强 homotopy Lie 代数的数表双线性、Jacobi 型 identities。