正交多项式的 Wronskian 型行列式、Selberg 型公式与常数项恒等式

设 $(p_n)_n$ 是关于测度 $\mu$ 的正交多项式序列。设 $T$ 是作用于多项式线性空间 $\PP$ 的线性算子，且满足对所有多项式 $p$ 均有 $\dgr(T(p))=\dgr(p)-1$。我们构造一个依赖于 $T$ 但不依赖于 $\mu$ 的多项式序列 $(s_n)_n$，使得 Wronskian 型 $n\times n$ 行列式 $\det \left(T^{i-1}(p_{m+j-1}(x))\right)_{i,j=1}^n$ 等于 $m\times m$ 行列式 $\det \left(q^{j-1}_{n+i-1}(x)\right)_{i,j=1}^m$（相差一个乘法常数），其中多项式 $q_n^i$ ($n,i\ge 0$) 定义为 $q_n^i(x)=\sum_{j=0}^n\mu_j^is_{n-j}(x)$，而 $\mu_j^i$ 是测度 $\mu$ 的某些广义矩。当 $T=d/dx$ 时，我们恢复了 Leclerc 的一个定理，该定理扩展了 Karlin 和 Szeg\H o 关于条目为超球多项式、Laguerre 多项式和 Hermite 多项式的 Hankel 行列式的著名恒等式。当 $T=\Delta$（一阶差分算子）时，我们得到了经典离散正交多项式的 Casorati 行列式的一些非常优美的对称性。我们还表明，对于某些算子 $T$，上述第二个行列式可以用 Selberg 型积分重写；并且对于某些算子 $T$ 和某些正交多项式族 $(p_n)_n$，这些行列式中的一个或两个也可以重写为某些多变量 Laurent 展开式的常数项。