关于trades的体积与仿射类型

一个$[t]$-trade是$v$-集$V$的子集（块）的两个不相交族$T=(T_+, T_-)$构成的偶对，使得对每个$0\le i\le t$，$V$的任意$i$-子集包含在$T_+$与$T_-$的相同数目的块中。由此可得$|T_+| = |T_-|$，该公共值称为$T$的体积。若限制所有块具有相同大小，则得到经典$t$-trades作为$[t]$-trades的特例。已知非空$[t]$-trade的最小体积为$2^t$。简单$[t]$-trades（即无重复块的那些）对应于次数至多为$v-t-1$的布尔函数。由Kasami--Tokura对具有少量1的此类函数的刻画，已知任意体积不超过$2\cdot2^t$的简单$[t]$-trade属于两种仿射类型之一，称为类型(A)与类型(B)，其中类型(A) $[t]$-trades已知存在。通过考虑仿射秩，我们证明类型(B)的$[t]$-trades不存在。进一步，我们导出了简单trades直至$2.5\cdot 2^t$的体积谱，推广了体积小于$2\cdot 2^t$的已知结果。我们还给出了$t=1,2$时“小”$[t]$-trades的刻画。最后，给出了一个针对指定$t$、$v$生成$[t]$-trades的算法，并报告了该算法在$t\le4$、$v\le7$时的实现结果。