关于哈明图中完美比特交易的存在性

图 $G$ 的顶点两个不相交集合 $(T_0,T_1)$ 称为 $G$ 中的完美比特交易（perfect bitrade），若 $G$ 中任一半径为 1 的球恰好包含 $T_0$ 与 $T_1$ 中一个顶点，或同时不包含任何顶点。完美比特交易 $(T_0,T_1)$ 的体积为 $T_0$ 的大小。特别地，若 $C_0$ 与 $C_1$ 是 $G$ 中最小距离为 $3$ 的两个不同完美码，则 $(C_0\setminus C_1,C_1\setminus C_0)$ 是一个完美比特交易。对任意 $q\geq 3$、$r\geq 1$，我们在哈明图 $H(qr+1,q)$ 中构造体积为 $(q!)^r$ 的完美比特交易，并证明当 $r=1$ 时其体积最小。