关于随几何流演变的几何算子谱

在本工作中，我们推广了关于特定几何算子的特征值在给定几何流下的演变与单调性的若干近期结果。给定一个闭紧致 Riemannian 流形 $\big(M^n,g(t)\big)$ 与光滑函数 $\eta\in C^{\infty}(M)$，我们考虑算子族 $\mathbb{L}=\Delta - g(\nabla\eta,\nabla\cdot)+cR$，其中 $R$ 为标量曲率，$c$ 为某实常数。我们在 $M$ 上定义了一个涵盖 Ricci 流、Ricci-Bourguignon 流与 Yamabe 流的几何流。假设度量 $g(t)$ 沿此一般几何流演变，我们推导了 $-\mathbb{L}$ 特征值的演变公式，并证明了 $-\Delta + g(\nabla\eta,\nabla\cdot)$ 与 $-\mathbb{L}$ 特征值的单调性结果。随后，我们证明了算子 $\mathbb{L}$ 的 Reilly 型公式，并利用其为 $-\mathbb{L}$ 特征值的一阶变分建立了一个上界。最后，为了对我们的推广给出理论解释，我们提出了两个关于 Schrödinger 算子特征值单调性的猜想。