关于低能形式上 Szeg"o 投影的奇点

设 $X$ 为一个抽象的、未必紧致的、维数为 $2n-1$ ($n\geqslant2$) 的可定向 CR 流形。设 $\Box^{(q)}_{b}$ 为 $(0,q)$-形式的 Kohn Laplacian 的 Gaffney 扩张。我们证明了 $\Box^{(q)}_b$ 的谱函数在 Levi 形式的非退化部分上允许完全渐近展开。作为推论，我们推导出若 $X$ 紧致且其 Levi 形式在 $X$ 上具有常数符号的非退化性，则 $\Box^{(q)}_b$ 在 $]0,\infty[$ 中的谱由有限重数的点特征值组成。此外，我们证明了在局部闭值域条件下，相关 Szeg"o 核的某种微观局部共轭允许渐近展开。作为应用，我们建立了某些弱伪凸 CR 流形以及具有横截 CR $S^1$ 作用的 CR 流形上的 Szeg"o 核渐近展开。利用这些渐近性，我们建立了 CR 流形上的一些局部嵌入定理，并给出了 Lempert 一个定理的解析证明：该定理断言具有横截 CR $S^1$ 作用的三维紧致严格伪凸 CR 流形可以 CR 嵌入到某个 $\mathbb{C}^N$ ($N\in\mathbb N$) 中。