具有 $S^1$ 作用的CR流形上的热核渐近、局部指标定理与迹积分

在Atiyah和Singer开创的横椭圆算子中，具有$S^1$作用的CR流形上的Kohn $\Box_b$算子是复分析者而言具有几何意义的一个自然算子。我们的第一个主要结果建立了此类算子的热核在其傅里叶分量取值下的渐近展开，其涉及一项前所未有的、由来自$S^1$作用低维层(strata)的距离函数所贡献的项。我们的第二个主要结果通过计算此类流形上的局部指标密度（以\emph{切向}特征形式表示），其中包括弦理论中令人关注的\emph{Sasakian流形}，通过将对角的离对角估计应用Getzler重标度技术，表明热核展开中来自层的某些非平凡贡献最终会相消。这导出一个局部结果，可被视为这些CR流形上的一类局部指标定理。作为我们CR指标定理的应用，我们可以证明Grauert-Riemenschneider判据的CR版本，并在具有横截$S^1$作用的弱伪凸CR流形上产生许多CR函数，以及在某些CR流形类上产生许多CR截面，回答了（在这类流形上）多复变与CR几何中一些长期存在的问题。我们给出这些CR流形的例子，其中一些来自Brieskorn流形。而且在某些情形，无需使用等变上同调方法，也无需像先前工作那样保留来自低维层的贡献，我们可以将Kawasaki的Hirzebruch-Riemann-Roch公式（针对具有轨道全纯线丛的复轨道域）重新解释为通过一个单一积分得到的指标定理，该积分在本质上是此线丛的圆丛的光滑CR流形上。