若干幂函数在有限域上的二阶零差特性分析

Feistel Boomerang 连通性表(FBCT)是分析基于 Feistel 网络密码抗幂次攻击（如差分攻击和Boomerang 攻击）的重要技术。此外，FBCT 的系数与特征为偶数域上函数 $F(x)$ 的二阶零差光谱密切相关，Feistel Boomerang 均匀性即为 $F(x)$ 的二阶零差均匀性。在本文中，我们通过计算有限域上特定方程的解的数量，明确求出幂函数 $x^{2^m+3}$ 和 $x^{2^m+5}$（其中 $m>2$ 为正整数）以及特征为奇数的域 $p$ 上的 $x^{p^k+1}$（其中整数 $k\geq1$）的二阶零差光谱。值得注意的是，$x^{2^m+3}$ 在 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上为置换，且仅当 $m$ 为奇数时，$x^{2^m+5}$ 才在 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上为置换，其中整数 $n=2m$。作为副产品，我们发现 $F(x)=x^4$ 在特征为奇数的 $\mathbb{F}_{3^n}$（其中 $n$ 为奇数）上是 PN 且二阶零差为 0 的均匀函数。本文旨在通过计算这些条目和每个表中基数，促进对 S-box 在探讨 distinguisher 和 trail 时的差分和Boomerang 密码分析。