关于 LUE 中心极限定理的正则性条件

我们考虑 Laguerre 酉系综（LUE），即 $n\times n$ 样本协方差矩阵 $M = \frac{1}{n}X^*X$ 的集合，其中 $m\times n$（$n \le m$）矩阵 $X$ 具有独立同分布的标准复高斯元素。我们特别关心 $\alpha := m - n$ 固定的情形，此时极限特征值密度在 $0$ 处具有硬边。我们研究 LUE 的线性谱统计量成立中心极限定理（CLT）型结果所需的最小正则性条件。只要极限方差的表达式有限（且在软边附近成立稍强条件），我们证明线性谱统计量的方差收敛，从而 CLT 成立。我们的方法基于利用 Laguerre 多项式的渐近性分析 LUE 的显式核。CLT 由用 Chebyshev 多项式逼近统计量的检验函数得到。