关于 $\S^2$ 上 NLS 流的逐点收敛性

在本文中，我们研究立方非线性 Schrödinger 流在 $\mathbb S^2$ 上几乎处处收敛到初始数据的问题。我们受到 Burq、Camps、Sun 和 Tzvetkov 引入的随机化方法和 ansatz 的启发，证明了在极低正则性下非线性解的几乎必然逐点收敛。这扩展了 Compaan-Luc\`a-Staffilani [Int. Math. Res. Not. IMRN, (1) (2021), 596--647] 到球面情形。我们还为 $\S^2$ 上线性 Schrödinger 方程相关的 $L^p$ 最大值估计提供了一个新的必要条件。更精确地说，我们证明 $L^p$ 最大值估计在 $s < \frac{1}{2} - \frac{1}{2p}$（$p \ge 2$）时失效。在特殊情形 $p = 3$ 下，我们的结果与 $\R^2$ 情形的对应范围一致（至端点），并改进了 Chen-Duong-Lee-Yan [J. Math. Pures Appl. 163 (2022), 433--449] 的先前结果。