一维三次色散方程的长时解,第二部分:聚焦情形

本文研究实直线上具有三次非线性项的一维色散流。在最近的一项工作中,作者针对此类色散流提出了一个广泛的猜想,断言在散焦情形下,小初值产生整体散射解。随后该猜想在薛定谔色散关系情形下被证明。关于散射,我们的整体解被证明同时满足整体 $L^6$ Strichartz 估计和双线性 $L^2$ 界。值得注意的是,对初数据未作任何局部化假设。本文考虑聚焦情形。此处可能存在小孤子,因此一般而言不能期望有整体散射解。相反,我们寻找长时解,并探求解存在并满足良好色散估计的时间尺度。我们的主要结果(也适用于薛定谔色散关系情形)断言:对于大小为 $\epsilon$ 的初数据,解在时间尺度 $\epsilon^{-8}$ 上存在,并在时间尺度 $\epsilon^{-6}$ 上满足所期望的 $L^6$ Strichartz 估计和双线性 $L^2$ 界。据我们所知,这是首个达到此类阈值的结果。