1D 三次非高度离散方程的全局解,第 IV 部分: 一般色散关系

一个广泛的猜想由作者在前期工作中提出,其表述如下:"具有小初始数据的三次非高度离散一维流在 $H^s$ 莫比尔空间中仅假设小尺度,即可获得全局分散解"。值得注意的是,此处的小尺度仅假设于 $H^s$ 莫比尔空间,无需任何局部化假设。该猜想最初是为一类类似 Schr"odinger 类型模型证明的,随后针对准二次项 Schr"odinger 流进行证明。在本工作中我们迈出下一步自然步伐,证明上述猜想适用于更广泛的类一维半线性离散问题,其非线性项为三次,且色散关系不再是 Schr"odinger 类型。这一结果是首个针对任何非 Schr"odinger 类型的 1D 三次问题的证明。此外,该结果仅要求初始数据在临界正则性下具有小尺度,这是此前任何 1D 三次离散流都未达到的阈值。就色散衰减而言,我们证明全局时间解满足全局 $L^6_{t,x}$ Strichartz 估计以及双线性 $L^2_{t,x}$ 界限。