关于素数模下扭点的矩及其 applications

设$\mathbb{A}[n]$为定义于数域$F$上的交换代数群$\mathbb{A}$的$n$-扭点群。对素理想$\mathfrak{p}$，令$N_{\mathfrak{p}}(\mathbb{A}[n])$为定义$\mathbb{A}[n]$的多项式方程组模$\mathfrak{p}$约化后在$\mathbb{F}_\mathfrak{p}$中的解的个数，其中$\mathbb{F}_{\mathfrak{p}}$为$\mathfrak{p}$处的剩余类域。令$\pi_F(x)$表示$F$中范数$N(\mathfrak{p})$不超过$x$的素数$\mathfrak{p}$的个数。随后，对一维代数群，我们借助算术级数的素数定理及更一般的Chebotarev密度定理，计算出$k$阶矩极限$$M_k(\mathbb{A}/F, n)=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{\pi_F(x)} \sum_{N(\mathfrak{p}) \leq x} N_{\mathfrak{p}}^k(\mathbb{A}[n])$$。我们进一步通过将Burnside引理应用于绝对Galois群在$k$份$\mathbb{A}[n]$上的作用，将该极限解释为轨道数。这些具体例子暗示了确定群作用于$k$份集合的轨道数的可能途径。我们还证明对零维代数集$Y$，定义于$F$的素数$\mathfrak{p}$上的相应算术函数$N_\mathfrak{p}(Y)$具有渐近极限分布。