关于最优特征值之和临界系统的亚纯可积性

对特征值之和界估计的流行始于 P. Li 和 S. T. Yau 对 Pólya 猜想的研究。该主题已推广到不同类型的微分算子。本文从两个方面探讨了 Sturm-Liouville 算子前 $m$ 个特征值之和。首先，利用特征值的完全连续性，我们提出了一族由所涉及的 Lebesgue 空间指数 $p\in(1,\infty)$ 索引的由非线性常微分方程组成的临界系统。这些系统的可解性与 Sturm-Liouville 算子前 $m$ 个特征值之和的最优下界或上界之间存在深刻联系，这为研究最优界提供了新思路。其次，我们研究临界系统的可积性或可解性。在适当选取指数 $p$ 的情况下，临界系统等价于 $m$ 自由度的多项式哈密顿系统。利用微分 Galois 理论，我们对这些多项式临界系统的亚纯可积性进行了完全分类。作为该分类的副产品，它给出了对 Tian、Wei 和 Zhang [J. Math. Phys. 64, 092701 (2023)] 所提出关于最优特征值间隙临界系统猜想的肯定回答。Poincaré 截面的数值模拟表明，特征值之和的临界系统可出现复杂的动力学现象，如周期轨道、准周期轨道和混沌。