具有齐次有理势的哈密顿系统的达布点与可积性分析

我们研究具有齐次有理势$V(\vq)$的自然哈密顿系统在Liouville意义下的可积性。通过分析沿某些特定解的变分方程的微分Galois群，得到了此类系统可积性的强必要条件。这些条件的形式是对在方程$\grad V(\vd)=\vd$的非零解$\vd$处计算的Hessian矩阵$V"(\vd)$的特征值的算术限制。这样的解称为真达布点。最近证明，对于一般的多项式齐次势，在所有真达布点处计算的势的Hessian矩阵的特征值之间存在普适关系。有理势是否存在这种关系的问题似乎很困难。原因之一是势及其梯度的不确定点的存在。尽管如此，对于两个自由度，我们证明存在这样的关系。这个结果很重要，因为它可以证明，对于满足可积性必要条件的势，在真达布点处Hessian矩阵特征值的允许值集合是有限的。反过来，这为可积有理势的分类提供了工具。此外，最近还发现，对于多项式齐次势，从非真达布点的存在可以推导出可积性的附加必要条件，即$\vd$是方程$\grad V(\vd)=\vzero$的非零解。这些新条件也具有对$V"(\vd)$特征值的算术限制形式。在本文中，我们证明对于有理势，非真达布点给出相同的可积性必要条件。