振子的可积性与超越性不变曲线
可精确求解与可积系统
2026-05-18 v1 动力系统
摘要
本文研究了一类非线性振子器的可积性问题。来自该系列的动力学系统在力学、化学等领域都有应用。我们提出了一种寻找首积分和积分因子的方法，基于构建和分类其余迹为一个变量中为多项式或有理数的超越性不变曲线。我们证明，这种方法可以有效用于寻找非李维尔（non-Liouvillian）和非普鲁修斯（non-Puiseux）可积的动力学系统。其应用涉及仅求解线性代数方程和线性常微分方程。这允许我们研究包括本征点在内的不变曲线在复平面上的奇点。我们通过两个来自 Painlevé--Gambier 分类的数学系统以及该系列中一个振子来说明这一方法，分别证明了它们的非李维尔可积性和非普鲁修斯可积性。此外，我们构造了前两个动力学系统相对于非局部变换的等价类。我们展示，在这些等价类中存在一些具有可积性的动力学系统的有趣例子。
引用
@article{arxiv.2605.15977,
title = {Integrability of oscillators and transcendental invariant curves},
author = {Jaume Giné and Dmitry Sinelshchikov},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.15977},
year = {2026}
}