关于非谐振荡器的几何与分析性质

在此我们考虑非谐振荡器，这是一个由$y_{xx}+\delta y^{n}=0$给出的动力系统。我们证明，与该方程对应的是一个具有线性和超越第一积分的超可积二维度规的新示例。此外，我们表明对于特定的$n$值，超越第一积分退化为多项式第一积分，这提供了一个具有任意偶数次附加多项式第一积分的超可积度规的示例。我们还讨论了如何从关于一阶导数为立方的自治非线性振荡器构造具有一个线性第一积分的超可积度规的一般过程。我们对所有可用于此构造的立方振荡器进行了分类。此外，我们研究了关于点变换与非谐振荡器等价的 Li\'enard 方程。我们表明存在属于此等价类的 Li\'enard 方程的非平凡示例，如广义 Duffing 振荡器或广义 Duffing--Van der Pol 振荡器。