关于非负 Kodaira 维数极小三维簇的 Medvedev-Scanlon 猜想

受 Zhang 在 20 世纪 90 年代早期工作的启发，Medvedev 和 Scanlon 提出了以下猜想。设 $K$ 为特征为 $0$ 的代数闭域，$X$ 为定义在 $K$ 上的准射影簇，赋予其一个支配有理自映射 $\Phi$。那么存在一个点 $\alpha \in X(K)$ 在 $\Phi$ 作用下的轨道是 Zariski 稠密的，当且仅当 $\Phi$ 不保持任何非平凡的有理纤维化，即不存在非常数有理函数 $f \in K(X)$ 使得 $\Phi^*(f) = f$。当 $K$ 不可数时，Medvedev-Scanlon 猜想成立。当 $K$ 可数时（例如 $K = \overline{\mathbb{Q}}$），情况要困难得多；此时该猜想仅在少数特殊情况下被证明。在本文中，我们证明了 Medvedev-Scanlon 猜想对于所有 Kodaira 维数为正的簇成立，并探讨了 Kodaira 维数为 $0$ 的情况。我们的结果在三维情况下最为完整。